Ennek a vektortérnek a mérete változik az f(t) szerint?
Pont erről szólt az egész írásom, tehát ha ilyet kérdezel, akkor úgy néz ki, nem ment át az info a rivaldán.
A vektortérnek nincs "mérete". Ez nem egy geometriai alakzat, mint a gömb vagy a kocka. Viszont van benne végtelen sok vektor, amelyeknek külön-külön van "mérete", azaz hossza. És nincs köztük leghosszabb, tetszőleges hosszúságú vektor létezik. Ha úgy tetszik, fogalmazhatunk úgy is, hogy maga a vektortér "végtelen". Ezt a képet erősíti az, hogy ha a vektortér origóját azonosítjuk a közönséges geometriai tér egy tetszőleges pontjával, akkor a vektorok végpontjai kölcsönözen egyértelműen megfeleltethetők a geometriai tér egyes pontjainak. Ez a geometriai tér pedig végtelen.
Az nyilvánvaló, hogy ha nem 0 a kiterjedése, végtelen számú vektor húzható az origóból.
Ez így matematikailag értelmetlen. Ne keverd össze a végtelen sok irányt, amerre a vektorok mutathatnak, és az adott irányba mutató, ugyancsak végtelen sok, különböző hosszúságú vektort. Az utóbbi tulajdonság definíció szerint minden vektortérben fennáll, mert a vektortér axiómái szerint minden vektor tetszés szerinti konstansszorosa is eleme a vektortérnek. Eszerint minden vektortérben akármilyen hosszú vektorok előfordulnak. Nincs értelme a vektortér "méretéről" beszélni.
Tehát kezdetben 0 volt a mérete?
Az előző írásom arról szólt, hogy a galaxisok hozzánk képesti helyzete két dolog szorzata. Az egyik az adott galaxist azonosító vektor, ami megfeleltethető az illető objektum jelenlegi helyzetének. Ez definíció szerint nem változik az időben. Mintha az életkorod növekedésével megváltozna a tíz éves korodbeli lakcímed. Hát az nem változik. Ez a vektortér is definíció szerint időtlen, mindig ugyanaz.
A szorzat másik tényezője az, ami időben változik, amit - az Univerzum érthetetlen egyszerűsége következtében - egyetlen f(t) függvénnyel tudunk megadni. Ennek a függvénynek minden objektumra közös volta fejezi ki azt, hogy az egész Univerzum egyforma módon tágul. Nyugodtan elképzelhetnénk bonyolultabb világot, pl ami a különböző irányokban különböző függvények által leírható módon tágul, esetleg egyes irányokban tágul, másokban összehúzódik stb. De a mi világunk ilyen egyszerű.
Az eredeti kérdés az volt, hogy lesz a "nulla méretű" kezdőpontból később végtelen világ. A vektortér mindig ugyanaz, mindig "végtelen", a függvény pedig egyszer nulla, később nem nulla.
Felhívom a szemléletes alapon kételkedők figyelmét a következő tényre. Képzeljük el, hogy a világ "tere" nem sík, hanem zárt, véges (bár határtalan). Ekkor a sokat emlegetett lufi-modell írná le a tágulást, csak hozzá kell tenni, hogy egy dimenzióval feljebb: a lufi két dimenziós felszínével szemben a mi világunk három dimenziós.
Tapasztalataim szerint a lufi-modellt mindenki elfogadja, el tudja képzelni (egyetlen csökönyös ellentmondót ismerek, aki korábban az origón, majd itt is a modellbe kötött bele, azt nem tudta elfogadni). Azt hisszük, hogy ha látjuk magunk előtt a folyamatosan növekvő lufit, akkor értjük, sőt el tudjuk képzelni az egész folyamatot, és lelki szemeinkkel tudjuk visszafelé extrapolálni a nulla pillanatig, amikor a lufi sugara nulla volt.
Nos ez kemény öncsalás. A nulla méretű kezdőpont és a tetszőlegesen kicsiny sugarú gömb között ugyanakkora és ugyanolyan hatalmas matematikai szakadék tátong, mint a nulla méretű kezdőpont és a tetszőlegesen kis pozitív időben fennálló végtelen tér között. Az akármilyen kicsiny sugarú gömb felszíne éppen úgy (és éppen annyi) végtelen (pontosabban: kontinuum számosságú) pontból áll, mint a végtelen euklideszi tér. Aki nem hiszi el, nem tudja elképzelni, elfogadni, hogy az egyetlen kezdőpontból akármilyen kis idő múlva már végtelen sok pont lesz, annak ugyanolyan gondot kell(ene) okoznia a lufi-modellnek, mint a végtelen tér "teremtésének". Érdekes módon ezt az azonosságot elmossa a látszólag szemléletes kép a lufi felfújódásáról.
Egyébként a matematikai leírás is hasonló: venni kell a mai (két-, három- vagy akárhány dimenziós) világot, annak a pontjait koordinátázni, aztán a távolságok kiszámításánál a mai gömbön mérhető távolságokat meg kell szorozni az f(t) függvénnyel. A pillanatnyi halmaz geometriája más, de a lényeg, a távolságok szorzat alakú előállítása (egy az adott objektumra jellemző állandó mennyiség és egy univerzális időfüggvény szorzataként) ugyanaz mindkét esetben.
Ennél egyszerűbb dinamikus világmodellt nehéz lenne kitalálni. De ha az érdeklődő laikusok ezt sem értik meg, akkor eléggé reménytelen az ügy...
dgy
dgy