Sziasztok!
A szingularitásról:
A szingularitás definíció szerint az a hely, ahol a fizikai rendszert leíró egyenletek, kifejezések matematikailag értelmetlenné válnak. Pl nullával való osztás, gyök alatt negatív szám, vagy valami még durvább művelet lép fel. Itt a játék kettéválik.
Vannak olyan speciális pontok „a paraméterek terében”, ahol a matek mintegy kézenfogja a fizikust, és megmutatja, hogy lehet a korábbi eredményt „folytatni” (hivatalosan analitikus folytatásnak hívják az ilyesmit). Ilyen helyzet lép fel pl az egyszerű csillapított oszcillátor leírásában, ahol az ún. alulcsillapított és túlcsillapított esetek egységesen tárgyalhatók, ha megengedjük, hogy bizonyos (korábban valósnak tekintett) paraméterek komplex értéket vegyenek fel. Ilyenkor általában meglepő, érdekes, és további ötleteknek, kutatásoknak utat nyitó kapcsolatok tárulnak fel korábban függetlennek tűnő jelenségek között. (Gondolná valaki, hogy a fénytörés és a fény fémekben való elnyelődése ugyanazzal a matekkal írható le?) Ekkor a korábban szingulárisnak vélt pont nem a megismerés végét jelzi, hanem ajtót jelent a megismerés új területére.
A másik eset az, amikor a szingularitás valóban az elmélet határát jelzi. A megoldást matematikailag nem lehet folytatni, illetve ha (analógiás alapon) megpróbáljuk, annak semmi értelme, semmi relevanciája nincs. Ennek tipikus példája az ún. „pulzáló Világegyetem” modellje. Eszerint a hipotétikus, jövőbeli Nagy Reccset egy újabb Nagy Bumm követi, az Univerzum feltámad a szingularitásból, és egy új tágulási ciklussal újrakezdi életét. Hasonlóképp: a mi Nagy Bummunkat egy korábbi Reccs előzte meg. Így az Univerzum teljes életkora végtelen, az időnek se eleje, se vége. Ez az egész egy méltányolható, de nem tudományos, hanem esztétikai, vagy inkább vallási jellegű hipotézis. Matematikailag az általános relativitás egyenletei nem folytathatók a szinguláris pontokon (a Bummon és a Reccsen) túlra. A folytatás egyedüli oka az emberek pszichológiai irtózása „a Világ Végétől”, az Idő kezdeti és végső pillanatától. (Furcsa pszichológiai tény, hogy 1600-ban Giordano Brunót még azért égették meg, mert bevezette a végtelen tér és idő fogalmát. Akkor az emberek a végtelen időt nem bírták elképzelni. Négyszáz évvel később pedig a véges időt. Hálistennek ma senkit sem égetnek meg tudományos nézeteiért.) A szinguláris ponton túlra a tágulás ismétlése helyett ugyanolyan joggal odaképzelhetjük a matematika kisangyalát, vagy a kajánul vigyorgó krampuszt is. Ugyanúgy nem zárja ki létüket semmi, és ugyanúgy nem következnek a fizikai modellből, mint az újabb tágulási ciklus.
Természetesen mindebből nem következik, hogy a „szingularitás” valóban létezik. Sőt, még Penrose és Hawking nevezetes szingularitástételéből sem következik. Ez a tétel azt állítja, hogy bizonyos fizikai és matematikai feltételek fennállása esetén szükségszerűen fellép a szingularitás. De vajon fennállnak-e a tétel előfeltételei?
A fizika nem közvetlenül a „valósággal” foglalkozik. Matematikai modelljei, számításai a fizikai valóság egy egyszerűsített „fizikai modelljére” vonatkoznak. A fizikusok gyakori tapasztalata, hogy ha az alkalmazott matek csődöt mond, akkor ennek (a mindig előforduló számítási hibákon túl) általában az az oka, hogy a fizikai modell érvényességi határaihoz értünk. Egyszerű példa erre a ponttöltés elektrosztatikus mezejének energiája. Ha az elektront kicsiny, r sugarú gömbnek képzeljük, és kiszámítjuk az őt környező elektromos mező teljes energiáját, az eredmény 1/r-rel lesz arányos. H az r sugárral nullához tartunk, az energia divergál, végtelenné, szingulárissá válik. A „ponttöltés” fizikai modellje, amely sok esetben jó szolgálatot tesz, az energiaviszonyok tárgyalására nem alkalmazható. Másik modellt kell helyette keresnünk. Mi a megfelelő modell? Száztízenegy éve keresik, de még nem találták meg.
Van olyan elmélet, amely magában hordja érvényességi határait, mintey figyelmezteti az elméletben dolgozó fizikust, hogy „eddig, és ne tovább!” Ilyen a klasszikus elektrodinamika elmélete. Más elméleteknek nincsenek beépített korlátai, akár tetszés szerinti kiterjesztésben is érvényesek lehetnének. Ilyen pl. a klasszikus mechanika. Ezért jelentett akkora meglepetést, amikor megtaláltuk a mechanika határait: nagy sebességek esetén a relativisztikus mechanikával, kicsiny objektumok vizsgálatakor a kvantummechanikával kellett helyettesíteni. E határokra az elméleten belül semmi sem hívta fel előre a figyelmet: az elmélet e területeken is adott előrejelzéseket, csak azok éppen hibásnak bizonyultak, nem egyeztek a kísérletekkel.
Hasonló a helyzet az általános relativitáselméletel. Ez is egy zárt, önmagában logikus elmélet, amely önmagán belül nem utal saját határaira. Ahol eddig ellenőrizni tudtuk előrejelzéseit, azok helyesnek bizonyultak. Nos: ez az elmélet jósolja meg a szingularitásokat. Eszerint ezek a furcsa dolgok, „a fizika határai” valóban fellépnek. (Vigyázat, ez nem az ált.rel, hanem az egész fizika határa lenne!) Persze csak akkor, ha a szingularitás közelében még érvényes az általános relativitáselmélet. Semmi sem utal rá, hogy ne lenne érvényes – de bármikor kiderülhet a kísérletek során, hogy ha közelítünk a szinguláris állapothoz, valamiyen paraméter túl nagy vagy túl kicsi értéke az áltrel fizikai modelljének határát jelzi. Ezt előre nem lehet tudni, csak ha valóban elvégezzük a kísérleteket. (Ki gondolta volna százharminc évvel ezelőtt, hogy a több mint kétszáz éve jól működő klasszikus mechanika érvényességi határait épp a nagy sebességek és a kis méretek jelentik? Kinevették volna, aki ilyesmivel áll elő. Amíg aztán a kísérletek rá nem kényszerítették a fizikusokra ezeket a következtetéseket… Több évtizednyi ellenkezés, berzenkedés és értetlenség után.)
A következő lehetőseégek állnak előttünk:
a/ (Sok pénz befektetésével) fejlesztjük berendezéseinket, megközelítjük az elmélet által jósolt szingularitást. Közben nem történik semmi drámai, így el kell fogadnunk – pszichológiailag is –, hogy a szinguláris állapotok léteznek. A felfedezők Nobel-díjat kapnak. A szingularitás hívei nagyon örülnek, azok, akiket pszichológiailag zavartak a végtelenek, tovább fintorognak.
b/ (Sok pénz befektetésével) fejlesztjük berendezéseinket, megközelítjük az elmélet által jósolt szingularitást. Közben valami drámai történik: kiderül, hogy bizonyos határon túl már nem érvényes az általános relativitáselmélet. Ekkor a kísérletekre alapozva kifejlesztjük az új elméletet (pl a kvantumgravitációt). Nagyon örülünk, a felfedezők pedig Nobel-díjat kapnak. Ekkor két eset van:
alfa/ az új elméletben is fellép a szingularitás. Ekkor GO TO a/.
beta/ az új elméletben nem lép fel a szingularitás, és érvényes marad a fizika. Ekkor mindenki, akit bosszantott a végtelenek fellépte, a fizika határainak közelsége, nagyon örülnek. Egészen a következő válságig.
c/ Sok pénzt megspórolva NEM fejlesztjük berendezéseinket, és soha sem tudjuk meg, mi az igazság. Ekkor mindkét nézet hívei bosszankodnak, mert tovább furdalja az oldalukat a kíváncsiság.
Egyetlen eset nem fordulhat elő: elérjük a szingularitást, és mégis érvényes marad a fizika. Mert a szingularitás definíció szerint az a hely, ahol Isten nullával osztott, ahol nincs tovább. Ha van tovább, akkor nincs szingularitás, mert közben ki kell cserélni az elméletet. (Attól még a korábbi elmélet helyes, csak korlátozott érvényű.)
Ma az a/ és a b/ kimenetnek is vannak hívei, és vannak jelek mindkét irányú továbbfejlődésre (emellett sajnos a gazdasági válság ad némi sanszot a c/ forgatókönyvnek is). Izgatottan várhatjuk a további fejleményeket.
üdv
dgy
Dávid Gyula kérdések
Re: Dávid GYula kérdések
kaviat kérdezte:
> ugye lesznek megint előadások az mcse közvetítésében?
Nem, most jó ideig nem lesznek. Rengeteg egyéb kötelezettségem van az egyetemen, egyszerűen nem fér bele az időmbe...
> egy darabig még el tudok vegetálni a régebbi előadásokból
Több mint ötven előadás van fenn a neten, azokat akár lóugrásban is lehet hallgatni...
> de jó lenne egy kis frissítés
)
A múltkor belehallgattam a saját előadásaim felvételébe, és még engem is értek meglepetések...
Tehát frissítés gyanánt is lehet a korábbi előadásokhoz fordulni.
Meg persze az ajánlott könyvekhez. Többször igértem egy válogatott irodalomjegyzéket, most már tényleg mgcsinálom, és fellövöm valahova a Csillagvárosba. Akkor aztán a következő 10^8 évben lehet az ajánlott irodalmat tanulmányozni.
)
dgy
> ugye lesznek megint előadások az mcse közvetítésében?
Nem, most jó ideig nem lesznek. Rengeteg egyéb kötelezettségem van az egyetemen, egyszerűen nem fér bele az időmbe...
> egy darabig még el tudok vegetálni a régebbi előadásokból
Több mint ötven előadás van fenn a neten, azokat akár lóugrásban is lehet hallgatni...
> de jó lenne egy kis frissítés
)A múltkor belehallgattam a saját előadásaim felvételébe, és még engem is értek meglepetések...
Tehát frissítés gyanánt is lehet a korábbi előadásokhoz fordulni.
Meg persze az ajánlott könyvekhez. Többször igértem egy válogatott irodalomjegyzéket, most már tényleg mgcsinálom, és fellövöm valahova a Csillagvárosba. Akkor aztán a következő 10^8 évben lehet az ajánlott irodalmat tanulmányozni.
)dgy
A hozzászólást 1 alkalommal szerkesztették, utoljára dgy 2009.10.09. 23:47-kor.
Re: Dávid GYula kérdések
Szolgálati közlemény:
Kedves ismeretlen ismerőseim!
Az alatt a néhány nap alatt, amióta beléptem a Csillagvárosba, igen sokan bejelöltek ismerősnek. Sokan közülük azzal az indoklással, hogy meghallgatták előadásaimat, és ezért ismerősüknek tekintenek. Megtisztelő, de ebben a tekintetben konzervatív vagyok: számomra az "ismerősnek lenni" szimmetrikus reláció. Tehát csak azokat jelölöm vissza, akiket én is ismerek. Kérem a többieket, ne sértődjenek meg ezen.
Sőt. Sajnos azok mindegyikét sem tudom visszajelölni, akiket tényleg ismerek. Ugyanis igen pocsék a névmemóriám, és az arcmemóriám sem sokkal jobb. Mindensetre sok ember van, akit személyesen felismerek, tudom, hogy ismerős, de fogalmam sincs a nevéről. Ezek után meglátok itt egy ismeretlen nevet, fotó nélkül, vagy (számomra) felismerhetetlen fotóval - egyszerűen nem tudom, ki lehet ő, holott személyesen összefutva tudnám, hogy ismerem. Kérem az e kategóriába tartozó kedves ismerőseimet, ők se sértődjenek meg, a helyzet előbb-utóbb egyensúlyi állapotba kerül.
További kellemes és hasznos nyüzsgést kívánok mindenkinek a Csillagvárosban!
dgy
Kedves ismeretlen ismerőseim!
Az alatt a néhány nap alatt, amióta beléptem a Csillagvárosba, igen sokan bejelöltek ismerősnek. Sokan közülük azzal az indoklással, hogy meghallgatták előadásaimat, és ezért ismerősüknek tekintenek. Megtisztelő, de ebben a tekintetben konzervatív vagyok: számomra az "ismerősnek lenni" szimmetrikus reláció. Tehát csak azokat jelölöm vissza, akiket én is ismerek. Kérem a többieket, ne sértődjenek meg ezen.
Sőt. Sajnos azok mindegyikét sem tudom visszajelölni, akiket tényleg ismerek. Ugyanis igen pocsék a névmemóriám, és az arcmemóriám sem sokkal jobb. Mindensetre sok ember van, akit személyesen felismerek, tudom, hogy ismerős, de fogalmam sincs a nevéről. Ezek után meglátok itt egy ismeretlen nevet, fotó nélkül, vagy (számomra) felismerhetetlen fotóval - egyszerűen nem tudom, ki lehet ő, holott személyesen összefutva tudnám, hogy ismerem. Kérem az e kategóriába tartozó kedves ismerőseimet, ők se sértődjenek meg, a helyzet előbb-utóbb egyensúlyi állapotba kerül.
További kellemes és hasznos nyüzsgést kívánok mindenkinek a Csillagvárosban!
dgy
A hozzászólást 1 alkalommal szerkesztették, utoljára dgy 2009.10.09. 23:46-kor.
Re: Dávid GYula kérdések
T köszönöm a DGy szintü választ!
a szingulatitásrol ...akkor ha jol értettem a szingulatitás nem az az állapot amiröl még nem tudunk hanem azt igen is tudjuk hogy mi nem ... Howking probálkozásai a szeliditésre épp csak a kifelé feléknk megnyilvánuló hatásai...eszerint.
s mi van ha minden egyszerre történik ami nálunk recs ... (fekete luk) az egy másik világ bummja ?
sajnálattal hallom h nem lessz ujabb elöadás , jelentem tisztelettel kivül belül .. sorrendben stb ujra és ujra halgatom...
a szakirodalom sajnos nekem magas.. bár olvastam az idö rövid történetét és az isteni atom .. ot is talán ez megközeliti az elöadásai hangát szintén humoros..
azért szeretném tudni hogy napi " aktualitásokrol" azért megkérdezhetjük a véleményét?
(az égbolt egy részén felfedeztek egy területet ami gyorsabban tágul...??? kb juniusi hir volt de azota is szeretném megkérdezni )
ismerösök ?
nah ez a nagyság átka .. kivánok sok sok türelmet hozzánk
ha lehet szifi listát.... is kérnék, de komolyan érdekelne annak a szifinek a cime ahol a tudosok létrehoznak egy világot..egy buborékban...
a szingulatitásrol ...akkor ha jol értettem a szingulatitás nem az az állapot amiröl még nem tudunk hanem azt igen is tudjuk hogy mi nem ... Howking probálkozásai a szeliditésre épp csak a kifelé feléknk megnyilvánuló hatásai...eszerint.
s mi van ha minden egyszerre történik ami nálunk recs ... (fekete luk) az egy másik világ bummja ?
sajnálattal hallom h nem lessz ujabb elöadás , jelentem tisztelettel kivül belül .. sorrendben stb ujra és ujra halgatom...
a szakirodalom sajnos nekem magas.. bár olvastam az idö rövid történetét és az isteni atom .. ot is talán ez megközeliti az elöadásai hangát
szintén humoros..azért szeretném tudni hogy napi " aktualitásokrol" azért megkérdezhetjük a véleményét?
(az égbolt egy részén felfedeztek egy területet ami gyorsabban tágul...??? kb juniusi hir volt de azota is szeretném megkérdezni )
ismerösök ?
nah ez a nagyság átka .. kivánok sok sok türelmet hozzánkha lehet szifi listát.... is kérnék, de komolyan érdekelne annak a szifinek a cime ahol a tudosok létrehoznak egy világot..egy buborékban...
A hozzászólást 1 alkalommal szerkesztették, utoljára pont 2009.10.10. 18:12-kor.
Re: Dávid GYula kérdések
pont irta:
> az égbolt egy részén felfedeztek egy területet ami gyorsabban tágul...??? kb juniusi hir volt de azota is
> szeretném megkérdezni
Errol valahogy lemaradtam. Kernem a linket, majd utananezek.
dgy
> az égbolt egy részén felfedeztek egy területet ami gyorsabban tágul...??? kb juniusi hir volt de azota is
> szeretném megkérdezni
Errol valahogy lemaradtam. Kernem a linket, majd utananezek.
dgy
Re: Dávid GYula kérdések
Az Io és az Europa fűtését a Jupiter, és három hold (a 3. a Ganimedes) közötti rezonancia (4, 2, 1 arányú) látja el energiával.
Üdv: Z
Üdv: Z
Re: Dávid GYula kérdések
dgy írta:
Meg persze az ajánlott könyvekhez. Többször igértem egy válogatott irodalomjegyzéket, most már tényleg mgcsinálom, és fellövöm valahova a Csillagvárosba. Akkor aztán a következő 10^8 évben lehet az ajánlott irodalmat tanulmányozni.
Ezaz! Már alig várom!
Re: Dávid GYula kérdések
Kikölcsönöztem az Asimovos-istenes könyvet, ami egy másik topikban (a tapsolósban) lett ajánlva. Még a harmadik rész vissza van. Érdekes
Re: Dávid Gyula kérdések
Az árapályfűtéssel kapcsolatban korábban felmerült kérdésre válaszolnék, pontosabban azzal kapcsolatban írnék le pár mondatot. A Föld-Hold esetében valóban van árapály-hatás, ahogyan fűtés is, csak épp ez semmire nem elég. És hasonló helyzetben a Jupiter-rendszerben sem volna elég. Olyan ez, mint a Világegyetem tágulásának lufi-hasonlata. Csak épp a lufival több gond is van. Így például, hogy ugyebár nem igaz. Viszont kitűnő példa azoknak, akik felteszik a kérdést. És ha az illetőt tovább érdekli, már azonnal kiszúrja a problémát (hol a lufi közepe, stb.). A Föld-Hold rendszer hasonlata az árapály-fűtésre valahogy hasonlóan túlzó úgymond.
Az Io esetében pl. (ahol ugye a Naprendszerben a legnagyobb mértékű az árapály-fűtés, a legidősebb felszínforma mindössze 900 éves a holdon) egészen jól tanulmányozható, ahogyan persze az Europa esetében is. Az ok egyszerű. A Galilei-holdakra (ahogyan még sokra, a tömegtől, távolságtól és a kaptáció idejétől függően, vagyis hogy a hold mióta kering a rendszerben mondjuk nagyobb kataklizmikus becsapódás nélkül) igaz, hogy kötött keringésűek.
A kötött keringés sajátja, hogy a hold tengelyforgási ideje megegyezik a keringési idejével. Ez tehát elég sok holdra jellemző, a Galilei-holdak ennek (a Föld holdja mellett) nagyon jó példák. Csakhogy a kötött keringés/forgás a legtisztábban akkor jönne elő, ha a pálya alakja tökéletesen kör lenne. Nem az. A hold megtehetné, hogy Jupiter-közel pontjánál gyorsabban, távolban meg lassabban forog, de ezt nem tudja. A pálya alakja változhatna, közelíthetné még jobban a kört, de ezt sem tudja.
Ennek pedig komoly oka van (és ez az, ami a Föld-Hold rendszerre nem igaz). Úgy hívják, Ganymedes. Naprendszerünk legnagyobb holdja viszonylag közel van az Ióhoz és az Europához, gravitációs hatása révén elhaladásakor folyamatosan ellipszispályára kényszeríti (magához vonzaná/vonzza) a holdat. (A Ganymedes esetében a fűtés főleg a Jupiter-Callisto közös hatásnak köszönhető.) Vélhető, hogy ha a Hold pályáján túl keringene egy Ganymedes méretű hold, akkor a Hold is mutatna geológiai aktivitást. Tehát a Ganymedes okozta pályakényszer, illetve a kötött (és ennek megfelelően egyenletes, meghatározott) forgás igen komoly belső kényszert okoz. Ennek a kényszernek a mértéke pedig akkora, minél nagyobbak a részt vevő tömegek. A Jupiter meg elég nagy.
Az Iónál beljebb keringő Amaltheát gyakran az "5. Galilei-holdnak" is tekintik. Egy kis kődarabról van szó. Ha az Io jövőjét nézzük, egy idő után csak a magja marad, teljesen "elfogy". (A vulkánkitörések által kidobott vulkáni por és hamu mintegy 5%-a még a Naprendszert is elhagyja, képzelhetjük, mennyi áll Jupiter körüli pályára.) Ebből kiindulva az ősi Amalthea valaha egy nagy hold lehetett, amit a még jelentősebb árapály-fűtés hamarabb "elfogyasztott".
És akkor persze jöhet a kérdés: mi a helyzet a Callistóval? Nem sokkal kisebb a tömege a Ganymedesnél, miért nem hat rá is hasonlóan a Ganymedes? Nos, valamilyen mértékben azért hatnia kellene, még akkor is, ha a Ganymedes beljebb kering. De láthatóan gyakorlatilag zéró geológiai aktivitás van a holdon. No, hát ez az, amit még kutatnak... milyen is lenne a tudomány megválaszolatlan kérdések nélkül...
Bocs a hosszú válaszért, időnként én is túl sokat írok. (Ha ellentmondást írtam, tényleg utánanézek képletek terén is...)
Üdv,
Feri
Az Io esetében pl. (ahol ugye a Naprendszerben a legnagyobb mértékű az árapály-fűtés, a legidősebb felszínforma mindössze 900 éves a holdon) egészen jól tanulmányozható, ahogyan persze az Europa esetében is. Az ok egyszerű. A Galilei-holdakra (ahogyan még sokra, a tömegtől, távolságtól és a kaptáció idejétől függően, vagyis hogy a hold mióta kering a rendszerben mondjuk nagyobb kataklizmikus becsapódás nélkül) igaz, hogy kötött keringésűek.
A kötött keringés sajátja, hogy a hold tengelyforgási ideje megegyezik a keringési idejével. Ez tehát elég sok holdra jellemző, a Galilei-holdak ennek (a Föld holdja mellett) nagyon jó példák. Csakhogy a kötött keringés/forgás a legtisztábban akkor jönne elő, ha a pálya alakja tökéletesen kör lenne. Nem az. A hold megtehetné, hogy Jupiter-közel pontjánál gyorsabban, távolban meg lassabban forog, de ezt nem tudja. A pálya alakja változhatna, közelíthetné még jobban a kört, de ezt sem tudja.
Ennek pedig komoly oka van (és ez az, ami a Föld-Hold rendszerre nem igaz). Úgy hívják, Ganymedes. Naprendszerünk legnagyobb holdja viszonylag közel van az Ióhoz és az Europához, gravitációs hatása révén elhaladásakor folyamatosan ellipszispályára kényszeríti (magához vonzaná/vonzza) a holdat. (A Ganymedes esetében a fűtés főleg a Jupiter-Callisto közös hatásnak köszönhető.) Vélhető, hogy ha a Hold pályáján túl keringene egy Ganymedes méretű hold, akkor a Hold is mutatna geológiai aktivitást. Tehát a Ganymedes okozta pályakényszer, illetve a kötött (és ennek megfelelően egyenletes, meghatározott) forgás igen komoly belső kényszert okoz. Ennek a kényszernek a mértéke pedig akkora, minél nagyobbak a részt vevő tömegek. A Jupiter meg elég nagy.
Az Iónál beljebb keringő Amaltheát gyakran az "5. Galilei-holdnak" is tekintik. Egy kis kődarabról van szó. Ha az Io jövőjét nézzük, egy idő után csak a magja marad, teljesen "elfogy". (A vulkánkitörések által kidobott vulkáni por és hamu mintegy 5%-a még a Naprendszert is elhagyja, képzelhetjük, mennyi áll Jupiter körüli pályára.) Ebből kiindulva az ősi Amalthea valaha egy nagy hold lehetett, amit a még jelentősebb árapály-fűtés hamarabb "elfogyasztott".
És akkor persze jöhet a kérdés: mi a helyzet a Callistóval? Nem sokkal kisebb a tömege a Ganymedesnél, miért nem hat rá is hasonlóan a Ganymedes? Nos, valamilyen mértékben azért hatnia kellene, még akkor is, ha a Ganymedes beljebb kering. De láthatóan gyakorlatilag zéró geológiai aktivitás van a holdon. No, hát ez az, amit még kutatnak... milyen is lenne a tudomány megválaszolatlan kérdések nélkül...
Bocs a hosszú válaszért, időnként én is túl sokat írok. (Ha ellentmondást írtam, tényleg utánanézek képletek terén is...)
Üdv,
Feri