A tér, téridő: algebrai fogalom. Mint háttér képzeljük el a fizikai világ mögött. Teljesen absztrakt, elvont,
Szerintem már az is segítség lenne, ha DGY megírná, hogy pontosan melyik Polaris-előadásában foglalkozott ezzel, mert ide a rozsdás bökőt, hogy ez már szóba került "ismeretterjesztő" formában.
Lehet. De egyáltalán nem vagyok benne biztos. Sok mindent láttam, és szerintem ebbe nem ment még bele ennyire.
Bingó! Többször beszéltem erről, de csak érintőlegesen, és nem részletesen indokolva - pont azért, mert a válasz főleg matek...
A tér, téridő: algebrai fogalom. Mint háttér képzeljük el a fizikai világ mögött. Teljesen absztrakt, elvont, matematikai. A görbületek: geometriai, szintén matematikai fogalom.
Hogy jön ide az energia? Az fizikai fogalom. Hol a híd, a magyarázat, a két terület között? Hol a kölcsönhatás a matematikai 3+1 dimenziós tér, és a fizikai anyag között? Miből áll a fizika anyagi térideje, amit matematikailag 3+1 (vagy n) dimenziós folytonos (???) tér-ként modellezhetünk?
El kell keserítselek: az energia is matematikai fogalom. Sőt: minden fogalom, amit az elméleti fizikában használunk, lényegében matematikai. Az elméleti fizika nem az "anyaggal", a "világgal", a "valósággal" foglalkozik, hanem ezek matematikai modelljeivel. Ha jól csinálja, akkor a modell eléggé hasonlít a valóságra, és az eredmények alkalmazhatók a gyakorlatban. De attól a modell csak modell marad.
A híd matematika és fizika között: az a magyarázó erő. Arra kérdeztem rá. Nem kell kibontani, nem kell megoldani a diffegyenleteket, csak megkérdeztem: miért azokat írjuk fel és nem másokat? Az talán fizika, és kevesebb matek.
A keresett híd a Lagrange-formalizmus. Egyrészt a pontmechanika, másrészt a mezők (erőterek) mozgásegyenleteinek levezetésére szolgáló, a variációszámításon alapuló módszer. Ez teremt kapcsolatot a téridő-jellegű és az energia-jellegű fizikai fogalmak között. Tehát a szükséges matek a variációszámítás - és persze a csoportelmélet.
A Lagrange-formalizmusban a vizsgált objektumot (pontrészecskét, illetve mezőt) leíró keresett függvényekből és deriváltjaikból felépítünk egy Lagrange-függvényt, és ezt integráljuk egy időintervallumra, illetve téridő-tartományra. Az így kapott mennyiség a hatásintegrál. A Hamilton-féle variációs elv azt mondja ki, hogy a rendszert leíró függvények végtelen sok elképzelhető alakja közül az valósul meg, amelyet a hatásintegrálba behelyettesítve szélsőértéket (általában minimumot) kapunk, azaz a függvényeket egy kicsit megváltoztatva a hatásintegrál nem változik. Ebből az alapelvből a megfelelő matematikai eljárással levezethetők a mozgásegyenletek, illetve a mezőegyenletek.
Az eljárás során adott határfeltételekkel kell dolgoznunk, és az egyenleteket megoldva, a megoldásfüggvényeket visszahelyettesítve megkapjuk a hatás minimális értékét. Persze ha a határfeltételeket kicsit megváltoztatjuk, akkor ez a minimális érték is megváltozik. Mennyivel? Erre ad választ a „variációszámítás határképletének” nevezett formula. Ha a vizsgált út felső végpontját x irányba kicsit (dx-szel) elmozdítjuk, az S hatás megváltozása px * dx, ha y irányban dy-nal, akkor py * dy, stb. Ha a végpontot az időben visszük odébb dt-vel, akkor a hatás megváltozása (-E) * dt. (A * egyszerű szorzást jelent, csak az egyértelműség kedvéért írtam ki.)
A fenti képletek definiálják a px, py, pz és E mennyiségeket. Adott rendszerre ismerjük a hatás matematikai alakját, a fenti mennyiségek kiszámíthatók.
A jelölések nem véletlenek. Igen: px, py és pz az impulzus (lendület) vektorának komponensei, E pedig az energia. Honnan tudjuk ezt? A kérdés hibás: a fenti képletek egyszerűen az impulzus és az energia DEFINÍCIÓI.
El kell felejteni az olyan általános iskolai dumákat, hogy az energia „munkavégző képesség”, az impulzus meg „mozgásmennyiség”. Ezek csak körülírások, metaforák, ha megkapargatjuk, nem mondanak semmit. E mennyiségeknek a fenti variációszámítási módszer ad értelmet, egyben konkrét rendszerek esetén használható kiszámítási utasítást is.
Még mélyebbre lehet ásni a csoportelmélet segítségével. Ebben a kontextusban a térbeli eltolások egy háromparaméteres, az időbeli eltolások pedig egy egyparaméteres Lie-csoportot alkotnak. Ezek a csoportok ábrázolódnak egy konkrét fizikai rendszer állapotterén (pontosabban konfigurációs sokaságán). E csoportok infinitézimális generátorainak ábrázolásait nevezzük a vizsgált rendszer impulzusának, illetve energiájának. (Ezek a kiterjesztett konfigurációs sokaság kotangens-nyalábjának elemei.) Ez a definíció ekvivalens a fenti, hatásintegrállal megadott definícióval. Ráadásul ezen a nyelven közvetlenül meg lehet mutatni a Noether-tétel fennállását: ha a rendszer invariáns a fenti eltolások valamelyikére, akkor a megfelelő generátort ábrázoló mennyiség a mozgás során megmarad, azaz mozgásállandó.
Íme: megkaptuk a kapcsolatot a téridő-jellegű és az energia-jellegű fizikai mennyiségek között: a hatásintegrál a koordináták függvénye, a koordináták szerinti variációja megadja az impulzust, illetve az energiát. (Majdnem) készen áll a keresett híd.
A specrelben a helyzet egyszerűsödik: a térbeli és időbeli eltolások csoportja egyetlen négyparaméteres téridő-eltolás csoporttá olvad össze, ennek megfelelően a generátorok is egy négykomponensű, az impulzusvektor három komponensét és az energiát magába foglaló négyesvektort alkotnak.
E négydimenziós transzlációcsoport irreducibilis ábrázolásaira jellemző mennyiség, a Casimir-operátor, a konkrét esetben az E^2-p^2 kifejezés is igen fontos a fizikában, külön nevet is kapott: hagyományosan „a nyugalmi tömeg négyzeteként” emlegetjük.
A dolgot azért még bonyolítani kell. Egy bonyolult, folytonos eloszlású anyagot (pl az elektromágneses mezőt) nem elég a teljes impulzusából és teljes energiájából álló vektorral jellemezni. Ezek a mennyiségek sűrűségeloszlások integráljaként állnak elő, és időben is változhatnak: a tér egyik helyéről a szomszéd helyekre áramolhatnak. (Egy hasonlat: az országban levő összes pénzmennyiség adott. De nem mindegy, hogy előttem van a teljes pénzkupac, másnál meg nincs semmi, vagy épp nálad van az összes pénz, és nálam nincs egy vas sem. Az is számít, hogy éppen milyen tranzakciók, pénzáramlások vannak folyamatban. A teljes pénzügyi helyzetet csak az emberenkénti eloszlások és az áramlások ismeretében írhatjuk le.)
Ez is lefordítható a variációszámítás, illetve a csoportelmélet nyelvére. Folytonos eloszlású anyag (mező) esetén a hatás egy Lagrange-sűrűség nevű mennyiség négydimenziós, négyestérfogati integrálja. Ha a viszonyokat egy-egy pontban változtatjuk, a hatás megváltozását jellemző mennyiségek éppen az energia és az impulzus téridőbeli eloszlását, illeve áramlását leíró adatok lesznek. A specrelben ezek a mennyiségek együtt alkotják az energiaimpulzus-tenzornak nevezett, négyszer négyes mátrixszal leírható (és mivel a mátrix szimmetrikus, összesen tíz független komponenssel rendelkező) matematikai objektumot. Ő tehát a híd másik pillére folytonos eloszlású anyag esetén: az anyagnak a téridőhöz való csatolását az energiaimpulzus-tenzor adja meg.
Amikor az általános relativitáselmélet arra keres választ, hogyan befolyásolja az anyag eloszlása a téridő geometriáját, természetes a gondolat, hogy a most felépített hídon kell közlekednünk, csak ellenkező irányban: az anyagnak azok a jellemzői, azok a mennyiségek, amik a téridővel való kapcsolatot fejezik ki, azok lesznek azok a mennyiségek, amelyek a gravitációs egyenleteken keresztül leírják az anyag hatását a téridőre.
Ezek a mennyiségek pedig épp az energiaimpulzus-tenzor komponensei.
És ezzel válaszoltunk az eredeti kérdésre: miért pont ezek a fizikai mennyiségek, az anyagnak ezek a tulajdonságai szerepelnek a gravitáció forrásaként (folytatom a ki nem mondott kérdést: miért nem pl az elektromos töltés, az entrópia vagy a spin)? A válasz rendkívül egyszerű: mert ezek a mennyiségek írják le az anyag és a téridő közti kapcsolatot. És ez nem bizonyításra szoruló állítás, hanem egyszerű definíció kérdése.
Persze ahhoz, hogy a fenti válasz egyszerűségét megértsük, el kell felejtenünk az energia és az impulzus fogalmával kapcsolatban belénk rögzült előítéleteket – ha egy egészen másféle iskolás energiafogalom él bennünk, akkor természetesen merül fel a kérdés, hogy miért pont az energia jelenik meg a gravitációs egyenletekben, és miért nem a mágneses momentum. Ha viszont a fenti gondolatmenetet követjük, akkor megérthetjük (sőt a végén triviálisnak érezzük), hogy energiának (stb) – definíció szerint – ÉPPEN AZT a mennyiséget nevezzük, amely (az adott pozícióban) megjelenik a gravitációs egyenletekben.
Persze lehet, hogy nem lehet rá válaszolni, vagy nem könnyű, nem lehet lefordítani ismeretterjesztő szintre.
Azért megpróbáltam.
dgy
