Az próbálom megemészteni, hogy általános esetben nincs, nem értelmezett a távolság az áltrelben.
Először az időbeli és a térbeli távolságmérés közti különbséget kell megértenünk. Ha kijelölünk egy időszerű görbét - azaz olyat, ami mindenhol a helyi fénykúp belsejében, a fénysebességnél lassabban halad - akkor ez (elvileg) fizikailag megvalósítható: végig lehet küldeni rajta egy kicsiny, pontszerűnek tekinthető testet, rakétát stb. (A szükséges hajtómű és hajtóanyag kérdésével most ne foglalkozzunk - ezért írtam, hogy "elvileg" megvalósítható...) A világvonalon haladó rakéta által magával vitt óra méri meg a görbe mentén a sajátidőt. Ez arányos a vonal téridőbeli hosszával, tehát (elvileg) megmérhető.
Nézzünk most egy térszerű vonalat. Ezt egy madzag jelölné ki - ha annak nem lenne időbeli kiterjedése is! De van, és nem lehet ettől eltekinteni. A két távoli pontot összekötő madzag a téridőben nem egy vonal (amelynek a hossza meghatározható lenne), hanem egy felület, egy "világlepedő", hiszen a madzag minden anyagi pontja halad előre az időben. Ennek a felületnek a mentén végtelen sokféleképpen jelölhetünk ki a két (egyidejűnek feltételezett) végpontot összekötő térszerű görbét. E kijelölt görbék legtöbbikére úgy gondolhatunk, mint ami nem egyidejű, hanem bizonyos pontjai előre vagy hátra "lelógnak" az egyidejűség felületéről. De mivel a görbült téridőben az egyidejűség nem értelmezhető globálisan, nincs semmiféle fizikai ok, aminek alapján az egyik lehetséges térszerű görbét kitüntessük, "valóban egyidejűnek" tekintsük. A különböző görbék más-más hosszúságúak, ezek bármelyike tekinthető lenne a két kiszemelt pont távolságának - tehát egyikük sem definiálja "az igazi távolságot".
Bizonyos speciális, egyszerű téridők esetén azonban értelmezhető a globális egyidejűség, az úgynevezett "világidő" - ekkor értelme van azt mondani, hogy tekintsük a madzag azon pontjait, amik mind "egyszerre vannak". Az így kijelölt térszerű vonal hossza tekinthető a két végpont távolságának. Ez azonban időben még változhat (lásd a táguló Univerzum esetét). Speciálisan sztatikus téridő esetén a térszerű vonal hossza nem függ az időtől - így ez az adat valóban rendelkezik a szokásos távolságfogalom jellemzőivel.
Ez a helyzet a gömbszimmetrikus téridőben, ha a sztatikus Schwarzschild-metrikát használjuk. Ebben a nagyon speciális esetben valóban értelmezhetjük a távoli pontok térbeli távolságát.
Néhány speciális esetben mégis van, a Schwarzschild megoldás közéjük tartozik? Az én megértésemben, az statikus megoldás, és ezért ott értelmezhető.
Igen.
Ha kifeszítek egy zsinórt r=2*r_g és r=3*r_g pontok közé (r_g a Schwarzschild-sugár), akkor milyen hosszú lesz? L = r_g vagy a Schwarzschild metrikus tenzorral felintegrált hossz?
A metrikus tenzor alapján kell az ívelemnégyzetet felintegrálni r=2*r_g és r=3*r_g között.
Ha kifeszítek egy zsinórt a fény görbült pályájának mentén, akkor a zsinór is ugyanezen pályán feszül meg vagy pedig a húr mentén?
Egyik sem. A fény "görbe" pályájának két pontját összekötő "húr", azaz egyenes nem létezik: maga a fénysugár a "legegyenesebb görbe". A zsinór viszont már a klasszikus fizikában sem feszíthető ki teljesen egyenesre, ha hat rá a gravitáció! A közönséges földi gravitációs térben két, egyforma magasságban levő pont között kifesztített madzag sem lesz tökéletesen vízszintes: a saját súlya miatt mindenképp "belóg" - még ha ez a gyakorlatban észrevehetetlenül kis érték is lehet. Hasonló a helyzet az áltrelben is: igen bonyolult, a madzag anyagában végbemenő rugalmasságtani folyamatokat is figyelembe vevő számításokkal határozható csak meg a görbült téridőben kifeszített madzag pontos alakja - jómagam nem is vállalkoznék erre. Mindenesetre ez az alak nem fog megegyezni a fénysugár által kirajzolt "görbe egyenessel".
dgy