Botyesz92 írta:
Miért mondjuk azt, hogy nincs olyan hogy relativisztikus elektrodinamika, pontosabban nem-relativisztikus nincsen, mert a Maxwell-egyenletek már akkor relativisztikusak voltak, amikor a relativitáselmélet meg sem született, csak nem tudtak róla? Tisztában vagyok (nagyjából) hogyan jönnek ki relativisztikusan az egyenletek, a kérdés csupán azért merült fel bennem, mert a nem "négyes-dolgokat" tartalmazó, eredeti Maxwell egyenletekben, pontosabban az utolsóban szerepel egy mechanikai paraméter, a sebesség, az áramsűrűségen keresztül. És annak van relativisztikus esete.
Valamiért eszembe jutott ez, gondolkoztam aztán eljutottam ide, bár lehet hogy valamit rosszul látok.
Az előző cikkben Aurora által adott válasz csak részben helyes, kiegészítésre szorul.
Az elektrodinamika két részből áll, ennek megfelelően két különálló egyenletrendszert kell vizsgálni. Az egyik fele lényegében mechanika - azt vizsgálja, hogy adott külső erőtérben (pl elektromos és/vagy mágneses mezőben) hogyan mozognak a mezővel kölcsönható, köznapi nyelven "töltött" részecskék. Az ide vonatkozó egyenlet tulajdonképpen a Newton-törvény, bal oldalán a "tömeg * gyorsulás" kifejezés, jobb oldalán a mező által kifejtett erő: q(E + v x B). Ez az ún Lorentz-egyenlet és alkalmazása igazából a mechanika egyik fejezetét jelenti.
Az elmélet másik fele, a tulajdonképpeni elektrodinamika ténylegesen mezőelmélet. Azt írja le, hogy adott elhelyezkedésű és mozgású töltött részecskék milyen elektromos és mágneses mezőt keltenek, illetve maguknak a mezőknek a konfigurációja és térbeli változása hogyan befolyásolja e mezők időbeli fejlődését. Az ide vonatkozó alaptörvények a Maxwell-egyenletek.
Ezekről az egyenletekről mondtam azt, hogy tulajdonképpen már Maxwell idejében, Einstein születése előtt másfél évtizeddel relativisztikusak voltak, hiszen tartalmi változtatás nélkül, pusztán a szereplő mennyiségek jelölésének átírásával zökkenőmentesen be lehetett illeszteni őket a speciális relativitáselmélet formalizmusába. Ezért aztán nem létezik külön "relativisztikus elektrodinamika", pontosabban csakis az létezik, és "nemrelativisztikus elektrodinamika" nincsen.
Ide vonatkozik Botyesz92 kérdése: a Maxwell-egyenletekben " pontosabban az utolsóban szerepel egy mechanikai paraméter, a sebesség, az áramsűrűségen keresztül" - és a sebesség hármasvektor.
A probléma feloldása egyszerű, és benne van a tankönyvekben is. A Maxwell-egyenletekben az áramsűrűség mellett még egy forrástag szerepel: a töltéssűrűség. És a specrelben kiderül, hogy a töltéssűrűség (hármasskalár) az áramsűrűséggel (hármasvektor) együtt épp egy relativisztikusan kovariáns négyesvektort alkot. A töltésmegmaradást leíró kontinuitási egyenlet a specrelben úgy szól, hogy ennek a négyenvektornak a négyesdivergenciája nulla. A forrásos Maxwell-egyenletek (a div D = töltessűrűség és a rot H = áramsűrűség + stb alakúak) egyetlen tenzoregyenletbe egyesülnek: az elektromágneses térintenzítást leírú antiszimmetrikus négyestenzor négyesdivergenciája arányos a négyes áramsűrűségvektorral. (A másik két Maxwell-egyenlet, a div B=0 és a rot E = stb alakú, forrástagot nem tartalmazó egyenletek egy másik tenzoregyenletté egyesülnek: az elektromágneses térerősségtenzor Hodge-duálisának négyesdivergenciája zérus.) A hiányzó "anyagi" egyenletek, azaz a térintenzitás-mennyiségek (D és H) kifejezése a térerősség-mennyiségekkel (E és B) némi tenzori ügyeskedéssel (ezt sajnos a tankönyvek elmulasztják közölni) szintén kovariáns alakra írhatók.
Így tehát a tulajdonképpeni elektrodinamika, azaz a Maxwell-egyenletek, az "anyagi" egyenletek és a kontinuitási egyenlet zökkenőmentesen, puszta átbetűzéssel, egy cseppnyi tartalmi változtatás nélkül relativisztikusan kovariáns alakra írhatók - azaz már eleve relativisztikusan születtek.
Kicsit más a helyzet a korábban már említett, igazából mechanikai jellegű egyenlettel, amely az elektromos és a mágneses mező hatását fejezi ki a mozgó töltésre. Ez az egyenlet tulajdonképpen az impulzus megváltozásáról, "mérlegéről" szól: a részecske mv impulzusa azért változik, mert erő hat rá. A specrelben az impulzus (ami hármasvektor) kiegészül egy hármasskalár mennyiséggel, az energiával, és így alkotják a négyesimpulzus négyesvektorát. Ennek megfelelően a Newton-törvény is kiegészítendő az energiamérleget kifejező hármasskalár egyenlettel: a töltött részecske energiájának megváltozása egyenlő az elektromágneses mező munkájával (ez lényegében a Joule-hő más alakban). Ezt az egyenletet hozzácsaphatjuk a Lorentz-erőt tartalmazó fenti Newton-törvényhez, és megpróbálhatjuk relativisztikus alakra hozni. A jobboldallal ez sikerül is - az itt szereplő E és B vektorok besimulnak az elektromágneses négyes térerősségtenzor ismert alakjába, míg a v x B képletben szereplő sebességvektor a négyessebesség megfelelő komponenseiként szerepel.
Az egyenlet bal oldala, a mechanikai rész azonban nem illeszkedik a specrel formális kereteibe - ezt kell megváltoztatnunk! Ha a Newtontól származó tömeg * gyorsulás képletet, illetve a negyedik egyenletben az energia időderiváltját kicseréljük a négyesimpulzus sajátidő szerinti deriváltjára, és ezt tesszük egyenlővé az egyenlet másik oldalával, ahol az elektromágneses térerősségtenzor és a négyessebesség szerepelt, akkor egy relativisztikusan korrekt egyenletet kapunk, ami valóban leírja a töltött részecskék mozgását az elektromágneses erőtérben, akár a fénysebesség közvetlen közelében is. Ezt az egyenletet használják a gyorsítós mérnökök a felgyorsított részecskék pályájának tervezésére és követésére.
Igen ám, de a fenti helyettesítéssel ténylegesen megváltoztattuk a klasszikus elektrodinamikában szereplő egyenleteket! Nem a Maxwell-egyenleteket, nem az anyagi és nem a kontinuitási egyenletet, hanem a töltött részecskék mozgását leíró Lorentz-egyenletet. Annak is nem a jobb oldalát, ahol az elektromágneses mennyiségek szerepeltek, hanem a bal oldalát, ahol pusztán mechanikai mennyiségek, tömeg, sebesség, gyorsulás, idő, impulzus, energia találhatók.
Ezért tehát tényleg különbözik a "nemrelativisztikus" és a "relativisztikus" elektrodinamika - de nem az elektrodinamikai, hanem a mechanikai sajátságok figyelembe vételénél: egyszerűen másképp kell kezelni az időt, teret, tömeget, sebességet, gyorsulást, mint Newton tette. Kis sebességeknél ez a különbség eltűnik: a relativisztikus mechanika közelítéseként megkapjukl a newtoni mechanikát, és számolhatunk annak egyenleteivel - pl dinamók tervezésekor. Ha viszont részecskegyorsítót építünk, ezt nem tehetjük meg.
A tisztán elektrodinamikai kifejezések viszont Maxwell óta nem változtak, azok már eredetileg is relativisztikusak voltak.
dgy
és, hogy a Béta klub a 42-es szám alatt van